Beltrami係数と離散幾何写像の角度歪み

arXiv:2603.19240v2 発表タイプ: 差し替え 要旨: 近年、幾何写像手法は科学・工学の多くの実用的問題に対して広く開発・利用されてきました。幾何写像の質を評価する際の一般的な指標は、その共形性です。特に、共形写像が角度を保存し、局所幾何形状を保つということはよく知られており、多くの応用上有益です。したがって、既存の多くの研究が写像の共形性を測る指標として角度歪みに焦点を当ててきました。最近では、準共形式理論が幾何写像手法の開発において注目が高まり、Beltrami係数も共形歪みの表現として考慮されるようになりました。しかし、これらの二つの概念との精密な関連については分析されていません。この研究では、両者の関連性を検討し、一連の理論的結果を確立します。特に、写像のBeltrami係数のノルムと、該写像の下で三角形要素が受ける絶対角度歪みとの間の簡単な関係を発見しました。さらに、Beltrami係数を用いた単純な式によって最大角度歪みを推定することができます。本研究成果および推定値は、生物学と工学の多様な表面メッシュに対して、共形写像、準共形式写像、面積保持写像アルゴリズムを含む複数の幾何写像手法における数値実験により検証されました。結局、角度歪みとBeltrami係数の間の関係に関する理論的基盤を確立することにより、本研究は表面写像アルゴリズムの定量化・分析において新たな道を開きました。

arXiv:2603.19240v2 Announce Type: replace Abstract: Over the past several decades, geometric mapping methods have been extensively developed and utilized for many practical problems in science and engineering. To assess the quality of geometric mappings, one common consideration is their conformality. In particular, it is well-known that conformal mappings preserve angles and hence the local geometry, which is beneficial in many applications. Therefore, many existing works have focused on the angular distortion as a measure of the conformality of mappings. More recently, quasi-conformal theory has attracted increasing attention in the development of geometric mapping methods, in which the Beltrami coefficient has also been considered as a representation of the conformal distortion. However, the precise connection between these two concepts has not been analyzed. In this work, we study the connection between the two concepts and establish a series of theoretical results. In particular, we discover a simple relationship between the norm of the Beltrami coefficient of a mapping and the absolute angular distortion of triangle elements under the mapping. We can further estimate the maximal angular distortion using a simple formula in terms of the Beltrami coefficient. We verify the developed theoretical results and estimates using numerical experiments on multiple geometric mapping methods, covering conformal mapping, quasi-conformal mapping, and area-preserving mapping algorithms, for a variety of surface meshes in biology and engineering. Altogether, by establishing the theoretical foundation for the relationship between the angular distortion and Beltrami coefficient, our work opens up new avenues for the quantification and analysis of surface mapping algorithms.