多項式ニューラルネットワークの頑健性検証：計数幾何学の視点

論文：arXiv:2602.06105v2 Announce Type: replace-cross 要約: 私たちは、計数代数的幾何学を通じてニューラルネットワークの頑健性検証を研究する。多項式ニューラルネットワークにおいて、頑健半径の証明（certifying）は、代数決定境界への距離を計算することに等しい。我々は、この問題の複雑性の内在的指標であるユークリッド距離（ED）次数を用い、関連する ED 判別式を解析し、ED 次数が下がるパラメータ値を検出するパラメータ判別式を導入した。複数のネットワークアーキテクチャにおける ED 次数の公式を導出し、無限幅極限における実数临界点の期待数を特徴づけた。我々はこれらの量を計算し、正確な頑健性証明を行うためのシンボリック除去法とホモトピー連続法を開発した。最後に、Lightning の自己注目モジュールにおける実験では、同じ埋め込み次元を持つ一般的な 3 次元超曲面よりも厳密に小さい ED 次数を持つ決定境界を明らかにした。

arXiv:2602.06105v2 Announce Type: replace-cross Abstract: We study robustness verification of neural networks via metric algebraic geometry. For polynomial neural networks, certifying a robustness radius amounts to computing the distance to the algebraic decision boundary. We use the Euclidean distance (ED) degree as an intrinsic measure of the complexity of this problem, analyze the associated ED discriminant, and introduce a parameter discriminant that detects parameter values at which the ED degree drops. We derive formulas for the ED degree for several network architectures and characterize the expected number of real critical points in the infinite-width limit. We develop symbolic elimination methods to compute these quantities and homotopy-continuation methods for exact robustness certification. Finally, experiments on lightning self-attention modules reveal decision boundaries with strictly smaller ED degree than generic cubic hypersurfaces of the same ambient dimension.