有限要素法と極端学習ネットワークを用いたパラメータ逆問題の解法

arXiv:2602.14757v2 Announce Type: replace-cross 要旨：当稿では、制御、逆問題、不確定性定量化において生じるパラメータ依存偏微分方程式に対して、パラメータ変数に関するソボレー空間の滑らかさを根拠とした代数収束率を持つ古典的な補間スキームを用いたモデル化枠組みを開発する。解は物理領域を離散化するために有限要素法を用い、有限次元パラメータに関する依存性は別に近似する。我々はパラメトリックな解の存在性、一意性、および滑らか性を確立し、空間離散化とパラメータ近似の相互作用を明示的に定量化する厳密な誤差評価を導いた。 低次元パラメータ空間では、古典的な補間スキームはパラメータ変数に対するソボレー滑らかさを根拠とし、代数収束率をもたらす。高次元パラメータ空間では、古典的な補間を極端学習機（Extreme Learning Machine, ELM）の置換関数に取り換え、明示的な近似性と安定性仮定の下で誤差評価を得る。提案された枠組みは定量的光弾性 tomography における逆問題に応用され、ポテンシャルとパラメータの復元誤差評価を導出し、標準的手法と比較して大幅な計算コストの削減を達成し、精度を損なわないことを示した。

arXiv:2602.14757v2 Announce Type: replace-cross Abstract: We develop an interpolation-based modeling framework for parameter-dependent partial differential equations arising in control, inverse problems, and uncertainty quantification. The solution is discretized in the physical domain using finite element methods, while the dependence on a finite-dimensional parameter is approximated separately. We establish existence, uniqueness, and regularity of the parametric solution and derive rigorous error estimates that explicitly quantify the interplay between spatial discretization and parameter approximation. In low-dimensional parameter spaces, classical interpolation schemes yield algebraic convergence rates based on Sobolev regularity in the parameter variable. In higher-dimensional parameter spaces, we replace classical interpolation by extreme learning machine (ELM) surrogates and obtain error bounds under explicit approximation and stability assumptions. The proposed framework is applied to inverse problems in quantitative photoacoustic tomography, where we derive potential and parameter reconstruction error estimates and demonstrate substantial computational savings compared to standard approaches, without sacrificing accuracy.