幾何的降温（Geometric Tempering）の性質と勾配フローダイナミクスにおける限界

arXiv:2604.20301v1 Announce Type: cross 要約：$\\pi$ による確率分布からのサンプリング問題を考察します。これは既知の通り、確率分布の空間上の最適化問題として記述でき、目標は $\\pi$ からの Kullback-Leibler 差（KL 散度）を最小化することです。 我々は、幾何的降温（geometric tempering）を定義した移動ターゲット $(\\pi_t)_{t\ge0}$ による置換が、Wasserstein 勾配フローおよび Fisher-Rao 勾配フローに与える影響を考察します。我々は、連続時間において収束が指数関数的であることを示し、両方のケースで新しい限界（bounds）を提唱します。また、一般的な時間離散化を検討し、その収束特性を探求します。我々は、Fisher-Rao の場合において、ターゲット分布を初期分布とターゲット分布の幾何的な混合（geometric mixture）に置換しても、連続時間にも離散時間にも収束速度の向上をもたらさないことを示します。最後に、降温されたダイナミクスの勾配フロー構造を考察し、新しい適応的な降温スケジュールを導出します。

arXiv:2604.20301v1 Announce Type: cross Abstract: We consider the problem of sampling from a probability distribution $\pi$. It is well known that this can be written as an optimisation problem over the space of probability distributions in which we aim to minimise the Kullback--Leibler divergence from $\pi$. We consider the effect of replacing $\pi$ with a sequence of moving targets $(\pi_t)_{t\ge0}$ defined via geometric tempering on the Wasserstein and Fisher--Rao gradient flows. We show that convergence occurs exponentially in continuous time, providing novel bounds in both cases. We also consider popular time discretisations and explore their convergence properties. We show that in the Fisher--Rao case, replacing the target distribution with a geometric mixture of initial and target distribution never leads to a convergence speed up both in continuous time and in discrete time. Finally, we explore the gradient flow structure of tempered dynamics and derive novel adaptive tempering schedules.