Metric 空間における生成（Generation）

arXiv:2602.07710v1 Announce Type: cross Abstract: 我々は，分離可能な距離空間における生成（generation）の研究を行う。Kleinberg と Mullainathan（2024）の言語生成枠組みを，可算な領域を超え， novelty を距離の分離（metric separation）を通じて定義し，敵対的生成者（adversary）および生成者（generator）の両方向で非対称な novelty パラメータを許容することで拡張する。我々は，閉集合の次元（closure dimension）のスケール敏感なアナログである $(\varepsilon, \varepsilon')$-閉集合次元を導入した。これにより，一様・非一様の生成可能性の性格付けを与え，極限における生成の十分条件を示す。この過程において，我々は鋭い幾何学的対比を特定した。具体的には，ドーbling スペース（倍縮空間），すなわちすべての有限次元ノルム空間において，生成性は novelty スケールに安定であり，同値距離に対して不変である。しかし，一般的な距離空間において，生成性は極めてスケールに敏感であり，距離に依存する可能性がある。特に，自然な無限次元 Hilbert 空間 $\ell^2$ においてさえ，novelty パラメータが変動するに従い，すべての生成の概念が突然失效（fail）する可能性がある。

arXiv:2602.07710v1 Announce Type: cross Abstract: We study generation in separable metric instance spaces. We extend the language generation framework from Kleinberg and Mullainathan [2024] beyond countable domains by defining novelty through metric separation and allowing asymmetric novelty parameters for the adversary and the generator. We introduce the $(\varepsilon,\varepsilon')$-closure dimension, a scale-sensitive analogue of closure dimension, which yields characterizations of uniform and non-uniform generatability and a sufficient condition for generation in the limit. Along the way, we identify a sharp geometric contrast. Namely, in doubling spaces, including all finite-dimensional normed spaces, generatability is stable across novelty scales and invariant under equivalent metrics. In general metric spaces, however, generatability can be highly scale-sensitive and metric-dependent; even in the natural infinite-dimensional Hilbert space $\ell^2$, all notions of generation may fail abruptly as the novelty parameters vary.