Learning-guided Kolmogorov-Arnold 展開による線形を超えた前進・逆 PDE 解法

arXiv:2602.07970v1 Announce Type: cross 要旨：偏微分方程式は物理的、生物的、および図式的現象の記述において高度な精度を備えています。しかし、数値手法は次元の呪い、高計算コスト、および領域固有の離散化といった課題に直面しています。本稿では、さまざまな偏微分方程式解法の長所と短所を検討し、それらを応用問題（前進解法、逆問題、方程式発見）に応用的に適用するのを目的としています。特に、最新の CNF（NeurIPS 2023）フレームワーク Solver を、多変数・非線形設定および下流アプリケーションに拡張しています。主要成果として、選定された手法の実装、自己チューニング技術、ベンチマーク問題に対する評価、そしてニューラル PDE ソルバーおよび科学シミュレーション応用に関する包括的レビューを概説します。

arXiv:2602.07970v1 Announce Type: cross Abstract: Partial Differential Equations are precise in modelling the physical, biological and graphical phenomena. However, the numerical methods suffer from the curse of dimensionality, high computation costs and domain-specific discretization. We aim to explore pros and cons of different PDE solvers, and apply them to specific scientific simulation problems, including forwarding solution, inverse problems and equations discovery. In particular, we extend the recent CNF (NeurIPS 2023) framework solver to multi-dependent-variable and non-linear settings, together with down-stream applications. The outcomes include implementation of selected methods, self-tuning techniques, evaluation on benchmark problems and a comprehensive survey of neural PDE solvers and scientific simulation applications.