エキペリカルリスク・ミニマイゼーションによるショードリング橋問題

arXiv:2602.08374v1 Announce Type: cross Abstract: 端点分布がサンプルのみで与えられる場合のショードリング橋問題を考察する。古典的な計算アプローチは、エキペリカル測度上でシンコフン反復によるショードリングポテンシャルの推定、そしてその後の核平滑化された対偶解の微分に基づく時非同次ドリフトの構成に基づいている。これに対し、我々は学習理論的な道筋を提案する：即ち、ショードリング系を単一の正の転換ポテンシャルに書き換え、非線形固定点方程式を満たし、それを関数類におけるエキペリカルリスク・ミニマイゼーションによって推定する。参考核関数と終端密度に対するサブガウス仮定の下で、エキペリカルリスクの母集団対価への一様濃縮を確立する。学び上げたポテンシャルを橋の確率制御表現にplug し、サンプルを生成する。提案されたアプローチの実績を数値実験で示す。

arXiv:2602.08374v1 Announce Type: cross Abstract: We study the Schr\"odinger bridge problem when the endpoint distributions are available only through samples. Classical computational approaches estimate Schr\"odinger potentials via Sinkhorn iterations on empirical measures and then construct a time-inhomogeneous drift by differentiating a kernel-smoothed dual solution. In contrast, we propose a learning-theoretic route: we rewrite the Schr\"odinger system in terms of a single positive transformed potential that satisfies a nonlinear fixed-point equation and estimate this potential by empirical risk minimization over a function class. We establish uniform concentration of the empirical risk around its population counterpart under sub-Gaussian assumptions on the reference kernel and terminal density. We plug the learned potential into a stochastic control representation of the bridge to generate samples. We illustrate performance of the suggested approach with numerical experiments.