群oid 同調に関する普遍係数と Mayer-Vietoris 列

arXiv:2602.08998v1 発表タイプ：横断 要約：我々は、群oid Nerve の Moore 複体からのコンパクト支えを介して ample 群oid の同調を研究する。$A$ を頂多学的可換群とする。$n \\ge 0$ とおいて $C_n(\\mathcal{G};A) := C_c(\\mathcal{G}_n,A)$ とし、$\\partial_n^A=\\sum_{i=0}^n(-1)^i(d_i)_*$ と定義する。これにより $H_n(\\mathcal{G};A)$ が定義される。この理論は連続 \'\'etale 写像に対して functorial である。これは標準的な約化と互換性があり、飽和な clopen 部分集合への制限が含まれる。ample 設定において、これは Kakutani 等価の下で不変である。我々は Matui タイプの長正確列を再証明し、複体のレベルでの比較写像を特定する。$A$ が離散のとき、我々は自然な普遍係数短正確列を証明する：$$0 o H_n(\\mathcal{G})\otimes_{\mathbb{Z}}A\xrightarrow{\ \iota_n^{\mathcal{G}}\ }H_n(\\mathcal{G};A)\xrightarrow{\ \kappa_n^{\mathcal{G}}\ }\operatorname{Tor}_1^{\mathbb{Z}}\bigl(H_{n-1}(\\\mathcal{G}),A\bigr)\to 0.$$ 主要な入力として、複体のレベル同型 $C_c(\\mathcal{G}_n,\mathbb{Z})\otimes_{\mathbb{Z}}A\cong C_c(\\mathcal{G}_n,A)$ を用いることがあり、これは群oid の文書を自由複体 $C_c(\\mathcal{G}_\bullet,\mathbb{Z})$ に対して古典的な代数的 UCT に還元する。我々は非離散係数における障害も特定する。コンパクトな開集合からなる基を持つ、局所コンパクトに不連続で Hausdorff 空間 $X$ に対して、$\\Phi_X:C_c(X,\mathbb{Z})\otimes_{\mathbb{Z}}A\to C_c(X,A)$ の像は、有限像を持つコンパクト支えの関数に正確に一致する。したがって、$\\Phi_X$ は接合写像である必要かつ十分条件は、全ての $f\in C_c(X,A)$ が有限像を持つことである、そして適当な $X$ に対して、無限像を持つコンパクト支えの連続写像 $X\to A$ を生成することが可能である。最後に、clopen 飽和被覆 $\\mathcal{G}_0=U_1\cup U_2$ に対して、我々は Moore 複体の短正確列を構成し、$H_\bullet(\\\mathcal{G};A)$ に対して Mayer-Vietoris 長正確列を導き、明示的な計算を行うこととなる。

arXiv:2602.08998v1 Announce Type: cross Abstract: We study homology of ample groupoids via the compactly supported Moore complex of the nerve. Let $A$ be a topological abelian group. For $n\ge 0$ set $C_n(\mathcal G;A) := C_c(\mathcal G_n,A)$ and define $\partial_n^A=\sum_{i=0}^n(-1)^i(d_i)_*$. This defines $H_n(\mathcal G;A)$. The theory is functorial for continuous \'etale homomorphisms. It is compatible with standard reductions, including restriction to saturated clopen subsets. In the ample setting it is invariant under Kakutani equivalence. We reprove Matui type long exact sequences and identify the comparison maps at chain level. For discrete $A$ we prove a natural universal coefficient short exact sequence $$0\to H_n(\mathcal G)\otimes_{\mathbb Z}A\xrightarrow{\ \iota_n^{\mathcal G}\ }H_n(\mathcal G;A)\xrightarrow{\ \kappa_n^{\mathcal G}\ }\operatorname{Tor}_1^{\mathbb Z}\bigl(H_{n-1}(\mathcal G),A\bigr)\to 0.$$ The key input is the chain level isomorphism $C_c(\mathcal G_n,\mathbb Z)\otimes_{\mathbb Z}A\cong C_c(\mathcal G_n,A)$, which reduces the groupoid statement to the classical algebraic UCT for the free complex $C_c(\mathcal G_\bullet,\mathbb Z)$. We also isolate the obstruction for non-discrete coefficients. For a locally compact totally disconnected Hausdorff space $X$ with a basis of compact open sets, the image of $\Phi_X:C_c(X,\mathbb Z)\otimes_{\mathbb Z}A\to C_c(X,A)$ is exactly the compactly supported functions with finite image. Thus $\Phi_X$ is surjective if and only if every $f\in C_c(X,A)$ has finite image, and for suitable $X$ one can produce compactly supported continuous maps $X\to A$ with infinite image. Finally, for a clopen saturated cover $\mathcal G_0=U_1\cup U_2$ we construct a short exact sequence of Moore complexes and derive a Mayer-Vietoris long exact sequence for $H_\bullet(\mathcal G;A)$ for explicit computations.